变分学

课程简介

变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。

课程大纲

本慕课是2016年“北大助教建设型MOOC项目”的重要成果之一，感谢数学学院张栋、赵晗琮对本课程的贡献。

本课程分为两大部分：第一部分是经典变分学的基本内容，第二部分重点介绍直接方法及其理论基础。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。

具体的章节条目如下：

Ch1 变分学与变分问题

1-1 什么是变分学

1-2 变分学的历史

1-3 变分学和其它学科的关系

1-4 预备知识与课程介绍

1-5 泛函的概念与变分学的引入

1-6 第一个例子（最速下降线问题）

1-7 第二个例子（极小曲面问题）

1-8 第三个例子（产品再投资模型）

1-9 第四个例子（图像处理）

Ch2 Euler-Lagrange方程

2-1 函数极值的回顾

2-2 Euler-Lagrange方程的推导

2-3 duBois-Reymond引理

2-4 Euler-Lagrange方程的微分形式

2-5 Euler-Lagrange方程的一些注记

2-6 euler-lagrange方程与变分导数

2-7 应用（质点运动）

2-8 euler-lagrange方程的求解

2-9 应用（捷线）

Ch3 泛函极值的必要条件与充分条件

3-1 函数极值的再回顾

3-2 二阶变分

3-3 legendre-hadamard条件

3-4 jacobi场的引入

3-5 jacobi场的作用

3-6 共轭点

3-7 一个辅助引理

3-8 共轭点定理的证明

3-9 关于共轭点的一个严格极小定理

Ch4 强极小与极值场

4-1 强极小和弱极小

4-2 弱极小非强极小的例子

4-3 强极小的必要条件

4-4 weierstrass过度函数

4-5 强极小的充分条件

4-6 强极小的充分条件的应用

4-7 极值场与强极小的充分条件的证明

4-8 mayer场,hilbert不变积分

Ch5 Hamilton-Jacobi理论

5-1 Hamilton-Jacobi理论

5-2 Hamilton方程组的物理解释与legendre变换

5-3 Hamilton方程组的推导

5-4 Hamilton-Jacobi方程

Ch6 含多重积分的变分问题

6-1 多重积分变分问题的一阶变分:euler-lagrange方程

6-2 duBois-Reymond引理

6-3 三个小例子

6-4 多重积分变分问题的二阶变分

6-5 多重积分变分问题弱极小的必要条件:legendre-hadamard条件

6-6 多重积分变分问题弱极小的充分条件

Ch7 约束极值问题

7-1 Lagrange乘子法的回顾和几何解释

7-2 泛函条件极值的Lagrange乘子法

7-3 泛函条件极值的Lagrange乘子法的证明

7-4 例子:等周问题

7-5 逐点约束极值的Lagrange乘子定理

7-6 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的粗略证明

7-7 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的一些说明  

7-8 逐点约束极值定理的几个应用

Ch8 守恒律与noether定理

8-1 特殊的单参数函数族的Noether定理

8-2 一般的局部单参数变换群的Noether定理

8-3 守恒律例子：m质点系统的能量守恒

8-4 守恒律例子：m质点系统的动量守恒和角动量守恒

8-5 内极小

8-6 经典变分学小结

Ch9 直接方法

9-1 Dirichlet原理  

9-2 Weierstrass的反例

9-3 序列紧性的回顾

9-4 弱收敛和*弱收敛的回顾

9-5 弱收敛不一定强收敛的例子

9-6 Riemann-Lebesgue定理

9-7 *弱列紧

9-8 *弱列紧性的应用

9-9 Dirichlet原理的验证

Ch10 Sobolev空间

10-1 求泛函极小的程序（步骤）以及广义函数的定义

10-2 Sobolev空间的定义

10-3 W1,q(Ω)完备性

10-4 Sobolev空间的共轭空间

10-5 Sobolev空间的泛函理论

10-6 Sobolev嵌入定理

10-7 Rellich Kondrasheev定理

10-8 一维Sobolev空间

10-9 Euler-Lagrange方程

Ch11 弱下半连续性

11-1 凸集与凸函数回顾

11-2 简单的例子

11-3 Tonelli-Morrey定理

11-4 Tonelli-Morrey定理的证明

11-5 Riemann-Lebesgue定理与弱收敛的理解

11-6 W1q版本的Riemann-Lebesgue定理

11-7 序列弱下半连续

11-8 拟凸性

Ch12 存在性与正则性

12-1 存在性简述

12-2 ODE的正则性简述

12-3 ODE的正则性定理

12-4 ODE正则性例子

12-5 例子（强迫振动）

12-6 例子（测地线）

Ch13 特征值问题

13-1 正交投影方法

13-2 薄膜的障碍问题（正交投影方法的应用）

13-3 特征值问题的引入

13-4 特征值问题的解

13-5 特征值问题总结

13-6 特征展开

课程说明

本课程的内容针对“数学”专业的高年级本科生或低年级研究生而设，也可供教师以及研究人员，工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。我们不要求也不假设选课学生有任何拓扑方面的知识背景，也不要求有代数和偏微分方程的知识背景。对于具有一定专业知识背景或具有一定数学基础的同学，可以选择跳过相应章节，选择有兴趣的章节学习。

本课程的教学目标有二：其一，帮助学习者建立起“学习变分法所需的基本知识背景”；其二，帮助学习者“掌握变分学的基础知识”，培养学习者“用变分思想解决问题”的基本技能。

参考资料

I. M. Gelfand & S. V. Fomin, Calculus of Variations

张恭庆,《变分学讲义》，高等教育出版社

拓展阅读

张恭庆,《变分学讲义》，高等教育出版社

张恭庆,林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社

张恭庆,郭懋正，泛函分析讲义（下册），北京大学出版社

其他

建议多做习题！尤其是教材后的习题！

主讲教师

张恭庆   非线性分析

1936年5月29日生于上海。1959年毕业于北京大学数学系。1991年当选为中国科学院学部委员(院士)。1994年当选为第三世界科学院院士。 北京大学教授。曾任北京大学数学研究所所长、数学与应用数学重点实验室主任，中国数学会理事长。 以同调类的极小极大原理为基础，把许多临界点定理纳入无穷维Morse理论，使几种不同理论在这里汇合、交织，形成一个强有力的理论框架，由此发现了好几个新的重要的临界点定理，并使过去的许多结果的证明大为简化，所得结论也更为精确。这一理论被广泛地应用于非线性微分方程，特别是有几何意义的偏微分方程的研究。此外还曾将一大类数理方程自由边界问题抽象成带间断非线性项的偏微分方程，发展了集值映射拓扑度和不可微泛函的临界点理论等工具，成功地解决了这类问题。1987年获国家自然科学奖二等奖，1993年获第三世界科学院数学奖。

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